คณิตศาสตร์ โจทย์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

คณิตศาสตร์ โจทย์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ข้อ 1. ถ้าสุ่มครอบครัวที่มีบุตรสองคนมาครอบครัวหนึ่ง แล้วจงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ครอบครัวนั้น
          1. มีบุตรคนแรกเป็นหญิง บุตรคนที่สองเป็นชาย
          2. ไม่มีบุตรชายเลย
          3. มีบุตรเป็นชายมากกว่า 1 คน
          4. มีบุตรเป็นหญิงอย่างน้อย 1 คน
          5. มีบุตรชาย 1 คน บุตรหญิง 1 คน
          6. มีบุตรชาย 3 คน
วิธีทำ
          สมมติให้

จากโจทย์จะได้ S = {(ชาย, ชาย), (ชาย, หญิง), (หญิง, ชาย), (หญิง, หญิง)}
          แสดงว่า n(S) = 4

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นหญิง บุตรคนที่สองเป็นชายเท่ากับ 1/4

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีบุตรชายเลยเท่ากับ 1/4

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรเป็นชายมากกว่า 1 คน เท่ากับ 1/4

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรเป็นหญิงอย่างน้อย 1 คน เท่ากับ 3/4

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรเป็นชาย 1 คน บุตรหญิง 1 คน เท่ากับ 1/2
6. เนื่องจากครอบครัวนี้มีบุตรเพียงสองคน แสดงว่าจะมีบุตรชาย 3 คน ไม่ได้แน่ ๆ

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรเป็นชาย 1 คน เท่ากับ 0
***************************************
ข้อ 2.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลอยู่ 13 สี สีละ 4 ลูก โดยที่ลูกบอลในแต่ละสี มีหลายเลข 1, 2, 3, 4 ตามลำดับ สุ่มหยิบลูกบอลมา 3 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลมีสีเหมือนกัน 2 ลูกเท่านั้น
          1. 72 / 425
          2. 3 / 221
          3. 72 / 5525
          4. ข้อ 1, 2 และ 3 ไม่มีข้อใดถูก

***************************************

ข้อ 3. ล็อตเตอรี่ชนิดหนึ่งออกงวดละ 1000 ฉบับ และแต่ละงวดจะมีเพียง 1 ฉบับเท่านั้นที่ถูกรางวัล ในงวดหนึ่งนาย ก, ข, ค และ ง ซื้อ 6, 7, 12 และ 15 ฉบับตามลำดับ

           ถ้า p คือความน่าจะเป็นที่ทั้ง 4 คนนี้จะไม่ถูกรางวัลเลย จงหาค่าของ 1,000 p

คำตอบ 960

แนวคิด ให้ A, B, C, D คือเหตุการณ์ที่นาย ก, นาย ข, นาย ค, และนาย ง ถูกรางวัลตามลำดับ ดังนั้น

***************************************

ข้อ 4. พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ข้อใดต่อไปนี้ถูก

          1. ถูกเฉพาะข้อ ข. เพียงข้อเดียว

          2. ถูกเฉพาะข้อ ก. และ ข.

          3. ถูกเฉพาะข้อ ก. และ ค.

          4. ถูกเฉพาะข้อ ค. และ ง.

***************************************

5. มีสลาก 6 ใบมีหมายเลข 1-6 กำกับไว้ ให้สุ่มหยิบสลาก 2 ครั้ง ๆ ละใบ ถ้าครั้งแรกได้เลขคู่ให้ใส่สลากใบนั้นกลับคืนก่อนหยิบครั้งที่สอง แต่ถ้าครั้งแรกได้เลขคี่ ก็หยิบครั้งที่สองได้เลยโดยไม่ต้องใส่สลากกลับคืน ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ครั้งที่สองเป็นเลขคู่มีค่าเท่าใด

เฉลย 0.55 แนวคิด

          มีสลาก 6 ใบ มีหมายเลข 1-6 กำกับไว้ สุ่มหยิบสลาก 2 ครั้ง ๆ ละใบ ถ้าครั้งแรกได้เลขคู่ให้ใส่สลากใบนั้นกลับคืนก่อนหยิบครั้งที่สอง แต่ถ้าครั้งแรกได้เลขคี่ ก็หยิบครั้งที่สองได้เลยโดยไม่ต้องใส่คืน โจทย์ถามหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้สลากเป็นเลขคู่จากการหยิบครั้งที่สอง

     ให้ A แทนเหตุการณ์ของการหยิบได้สลากหมายเลขคู่ในการหยิบครั้งที่หนึ่ง

          B แทนเหตุการณ์ของการหยิบได้สลากหมายเลขคู่ในการหยิบครั้งที่สอง

หมายเหตุ

          โจทย์ข้อนี้ใช้ความรู้ การหาความน่าจะเป็นของอินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ กล่าวคือ เมื่อ X, Y แทนเหตุการณ์ จะได้

          ที่จริงเป็น conditional probability

***************************************

6. ในการจัดงานของบริษัทแห่งหนึ่ง ได้แจกบัตรแก่ผู้เข้าชมงาน 100 ใบ ซึ่งมีหมายเลขตั้งแต่ 00 ถึง 99 กำกับอยู่ สุ่มหยิบต้นขั้วของบัตรมา 1 ใบ เพื่อมอบรางวัลแก่ผู้เข้าชมงาน ผู้ที่มีบัตรซึ่งมีหมายเลขตรงกับต้นขั้วที่หยิบได้ จะได้รับรางวัลที่ 1 ส่วนผู้ที่มีบัตรหมายเลขซึ่งมีหลักหน่วยตรงกันกับต้นขั้ว หรือหลักสิบตรงกันกับต้นขั้วเพียงหลักเดียวจะได้รับรางวัลที่ 2 ถ้าสมชายได้รับแจกบัตรมา 1 ใบ ความน่าจะเป็นที่สมชายจะได้รับรางวัลคือข้อใดต่อไปนี้
          1. 1/100
          2. 1/10
          3. 19/100
          4. 1/5
เฉลยข้อ 3 แนวคิด
          สมมติว่าหมายเลขบัตรของสมชายคือ ab
          สมชายจะไม่ถูกรางวัลเมื่อเลขบัตรที่จับขึ้นมามีหลักหน่วยเป็นตัวเลขอื่น ไม่ใช่ b ซึ่งมีทั้งหมด 9 ตัว และ หลักสิบเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ a ซึ่งมี 9 ตัว เช่นกัน
          ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สมชายจะไม่ถูกรางวัล = 81/100
          ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สมชายจะถูกรางวัล = 19/100
          เพราะฉะนั้น ตัวเลือก 3 ถูกต้อง
หมายเหตุ

          การทำโจทย์ข้อนี้ใช้ความรู้

***************************************

7. ลูกเต๋าลูกหนึ่งถูกถ่วงน้ำหนักให้แต้มคู่แต่ละหน้ามีโอกาสเกิดขึ้นเป็นสองเท่าของแต้มคี่แต่ละหน้า ความน่าจะเป็นที่โยนลูกเต๋า 1 ครั้ง ได้แต้มเป็น 1 หรือแต้มคู่ เท่ากับข้อใด
          1. 2/3
          2. 3/4
          3. 7/9
          4. 5/8
เฉลยข้อ 3 แนวคิด
          ให้ a แทนความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะเกิดแต้ม 2
          และ b แทนความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะเกิดแต้ม 1
          เพราะฉะนั้น    a = 2b    และ    3a + 3b = 1
          ดังนั้น   3(2b) + 3b = 1   ==>  b  =  1/9  และ  a = 2/9
          เพราะฉะนั้น ในการโยนลูกเต๋าลูกนี้ 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้ม 1 หรือแต้มคู่
                    =  b + 3a  =  1/9  +  6/9  =  7/9
          เพราะฉะนั้น ตัวเลือก 3 ถูกต้อง
หมายเหตุ
          การทำโจทย์ข้อนี้ใช้ความรู้
          1. ให้ S แทน sample space : S  =  {1, 2, 3, 4, 5, 6}
          สมาชิกแต่ละตัวใน S มีโอกาสเกิดขึ้นไม่เท่ากัน
          กล่าวคือ P({1}) = P({3}) = P({5}) = 1/9
          และ  P({2}) = P({4}) = P({6}) = 2/9

          2. ให้ E  =  {1, 2, 4, 6} ให้หา P(E)

***************************************

8. ความน่าจะเป็นที่สมศักดิ์สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และวิชาเคมีเป็น 2/3 และ 4/9 ตามลำดับ ถ้าความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่านทั้งสองวิชานี้เป็น 1/4 แล้ว ความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบไม่ผ่านทั้งสองวิชานี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
          1. 3/4
          2. 31/36
          3. 1/9
          4. 5/36
เฉลยข้อ 4 แนวคิด
          ให้ S แทน sample space
               A แทน เหตุการณ์ที่สมศักดิ์จะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์
               B แทน เหตุการณ์ที่สมศักดิ์จะสอบผ่านวิชาเคมี

          เพราะฉะนั้น ตัวเลือก 4 ถูกต้อง

หมายเหตุ

***************************************

9. มีลูกแก้ว 7 ลูก ซึ่งมีสีต่างกันหมด โดยมีสีแดง สีขาว สีน้ำเงิน และสีอื่น ๆ จำนวนวิธีที่จะวางเรียงลูกแก้วเป็นวงกลมโดยให้สีน้ำเงินเรียงอยู่ติดกับสีขาวและติดกับสีแดงเท่ากับข้อใด
          1. 24
          2. 48
          3. 120
          4. 240
เฉลยข้อ 2  แนวคิด
          จากโจทย์เรานำลูกแก้วสีแดง, สีขาว และสีน้ำเงิน จัดไว้กลุ่มเดียวกันก่อน
          ดังนั้น ลูกแก้ว 7 ลูก  =  [ แดง, น้ำเงิน, ขาว]  +  อีก 4 ลูก
          นำไปจัดแบบวงกลมได้  4 !  =  24  วิธี
          ในกลุ่ม  [แดง, น้ำเงิน, ขาว]  สามารถจัดโดยให้สีน้ำเงินอยู่กลางได้ 2 แบบ
          ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดตามที่โจทย์ต้องการ  =  2  x  24  =  48  วิธี
          เพราะฉะนั้น ตัวเลือก 2  ถูกต้อง
หมายเหตุ

          การทำโจทย์ข้อนี้ใช้สูตรการจัดลำดับแบบวงกลม

***************************************

10. สมชายเตรียมตัวเดินทางไปท่องเที่ยวต่างประเทศ
      ความน่าจะเป็นที่เขาจะไปเที่ยวประเทศอังกฤษเท่ากับ 0.5
      ความน่าจะเป็นที่เขาจะไม่ไปเที่ยวประเทศเยอรมันเท่ากับ 0.8
      และความน่าจะเป็นที่เขาจะไปท่องเที่ยวทั้งสองประเทศเท่ากับ 0.6
    ความน่าจะเป็นที่เขาจะไม่ไปเที่ยวประเทศอังกฤษและไม่ไปเที่ยวประเทศเยอรมันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
          1. 0.4
          2. 0.5
          3. 0.7
          4. 0.9
เฉลย โจทย์บกพร่อง แนวคิด
          ให้ A แทนเหตุการณ์ที่สมชายจะเดินทางไปเที่ยวประเทศอังกฤษ
                B แทนเหตุการณ์ที่สมชายจะเดินทางไปเที่ยวประเทศเยอรมัน

***************************************
11. ในการทอดลูกเต๋าลูกเดียวหนึ่งครั้ง ถ้าถ่วงน้ำหนักลูกเต๋าลูกนี้จนกระทั่งทำให้ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 มีค่าเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต โดยที่ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นแต้ม 1 เท่ากับ 1/9 แล้วความน่าจะเป็นที่จะขึ้นแต้มคู่มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
          1. 7/15
          2. 8/15
          3. 13/15
          4. 14/15
เฉลยข้อ 2 แนวคิด
          จากโจทย์กำหนดว่า ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5, 6 มีค่าเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต โดยที่ความน่าจะเป็นที่จะเกิดแต้ม 1 เท่ากับ 1/9 ให้ความน่าจะเป็นที่จะเกิดแต้ม 1, 2, 3, 4, 5, 6 คือ

***************************************
12. ในการประกวดร้องเพลงรอบสุดท้าย มีผู้เข้ารอบ 3 คน ผู้เข้ารอบแต่ละคนต้องร้องเพลงเพียงหนึ่งเพลง โดยเลือกเพลงจากเพลงทั้งหมด 5 เพลง ที่กองประกวดจัดไว้ให้ ความน่าจะเป็นที่จะมีผู้เข้ารอบอย่างน้อย 2 คน เลือกร้องเพลงเดียวกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
          1. 8/25
          2. 9/25
          3. 12/25
          4. 13/25
เฉลยข้อ 4  แนวคิด
          ในการประกวดร้องเพลงรอบสุดท้ายมีผู้เข้ารอบ 3 คน โดยผู้เข้ารอบแต่ละคนจะต้องร้องเพลงเพียง 1 เพลง โดยเลือกจากเพลงทั้งหมด 5 เพลงที่กองประกวดจัดให้
          ให้ S แทน sample space

***************************************
13. โรงงานแกะสลักไม้แห่งหนึ่งมีคนงาน 15 คน เป็นหญิง 6 คน ชาย 9 คน ผู้จัดการรับงานมา 3 ชนิด โดยงานชนิดที่หนึ่งใช้คนงานหญิง 3 คน งานชนิดที่สองใช้คนงานชาย 5 คน ส่วนงานชนิดที่สามใช้คนงานชายหรือหญิงก็ได้จำนวน 3 คน จำนวนวิธีที่ผู้จัดการจะเลือกคนงานให้แกะสลักไม้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
          1. 37,800
          2. 68,250
          3. 75,600
          4. 88,200
เฉลยข้อ 4 แนวคิด
          จากโจทย์กำหนดคนงาน 15 คน = หญิง 6 คน และชาย 9 คน จัดทำงาน 3 ชนิด ดังนี้

          จำนวนวิธีในการจัดหญิง 3 คน และชาย 5 คนก่อน

          แต่ละวิธีในการจัดหญิง 3 คน และชาย 5 คนข้างต้น สามารถจัดหญิง Z คนและชาย W คน เพื่อทำงานชนิดที่ 3

          ดังนั้นคำตอบ

         = (20)(126)(35)  = 88200 วิธี
****************************************
14. มีเลข 8 จำนวนเป็นเลขบวก 6 จำนวน ซึ่งเป็นจำนวนคู่ 3 จำนวน จำนวนคี่ 3 จำนวน และมีเลขลบ 2 จำนวนซึ่งเป็นจำนวนคู่ 1 จำนวน จำนวนคี่ 1 จำนวน ถ้าสุ่มเลขจำนวนดังกล่าวมา 4 จำนวน แล้วความน่าจะเป็นที่ผลคูณของเลขทั้งสี่จำนวนมีค่าน้อยกว่า 0 และเป็นเลขคี่ คือข้อใดต่อไปนี้
          1. 1/70
          2. 10/70
          3. 14/70
          4. 28/70
เฉลยข้อ 1 แนวคิด
          มีจำนวน 8 จำนวนบวก 6 จำนวน และจำนวนลบ 2 จำนวน ในจำนวนบวก 6 จำนวนจะมีจำนวนคู่และจำนวนคี่อย่างละ 3 จำนวน และในจำนวนลบ 2 จำนวนจะมีจำนวนคู่และจำนวนคี่อย่างละ 1 จำนวน สุ่มหยิบจำนวนดังกล่าวมา 4 จำนวน
          จะได้

          ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ผลคูรของจำนวน 4 จำนวนมีค่าน้อยกว่า 0 และเป็นจำนวนคี่ ซึ่งจะมีเพียง 1 วิธีเท่านั้นใน 70 วิธี คือ วิธีที่ได้จำนวนคี่ทั้ง 4 จำนวน

****************************************
15. การเขียนเครื่องหมาย O หรือ X ลงในตารางขนาด 2 x 3 โดยให้มีเครื่องหมายเต็มทุกช่อง และต้องมีเครื่องหมายอย่างน้อยอย่างละ 1 เครื่องหมาย แล้วจำนวนวิธีเขียนเท่ากับเท่าไร
เฉลย 62 แนวคิด

          จากตารางที่มีขนาด 2 x 3 ข้างต้น เราต้องการใส่เครื่องหมาย O หรือ X ลงในแต่ละช่อง ๆ ละ 1 เครื่องหมาย จะมีจำนวนวิธีเท่ากับ

          และใน 64 วิธีนี้ จะมีเพียง 2 วิธี เท่านั้นที่ทั้ง 6 ช่อง มีเครื่องหมายเหมือนกัน
          เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีในการกำหนดเครื่องหมายลงในช่อง 1 - 6 และจะต้องมีเครื่องหมายอย่างน้อยอย่างละ 1 เครื่องหมายเท่ากับ 64 - 2 = 62 วิธี
****************************************

16. จากอาจารย์ 4 คน นักเรียนชาย 5 คน นักเรียนหญิง 2 คน ต้องการเลือกตัวแทน 4 คน โดยให้มีอาจารย์ 1 คน และนักเรียนหญิงอย่างน้อย 1 คน จำนวนวิธีเลือกเท่ากับในข้อใดต่อไปนี้
          1. 20
          2. 80
          3. 100
          4. 204
เฉลยข้อ 3 แนวคิด
          อาจารย์ 4 คน, นักเรียนชาย 5 คน, นักเรียนหญิง 2 คน, เลือกตัวแทน 4 คน โดยให้มีอาจารย์ 1 คน และนักเรียนหญิงอย่างน้อย 1 คน จะมีจำนวนวิธี = จำนวนวิธีในการเลือกตัวแทนโดยมีอาจารย์ 1 คน, นักเรียนหญิง 1 คน และนักเรียนชาย 2 คน + จำนวนวิธีในการเลือกตัวแทนโดยให้มีอาจารย์ 1 คน, นักเรียนหญิง 2 คน และนักเรียนชาย 1 คน

**********************************
17. ในการสุ่มหยิบลูกกวาดจากกล่องใบหนึ่งซึ่งมีลูกกวาดอยู่ 4 ชนิด ชนิดละ 2 เม็ด ให้แก่เด็กชายสองคน คนละ 4 เม็ด ความน่าจะเป็นที่เด็กแต่ละคนได้ลูกกวาดครบทั้ง 4 ชนิด เท่ากับในข้อใดต่อไปนี้
          1. 8/35
          2. 6/35
          3. 4/35
          4. 2/35
เฉลยข้อ 1 แนวคิด
          จากโจทย์ให้ S แทน Sample space ของการทดลองสุ่มนี้ จะได้

          ใน 70 วิธี จะมีเพียง

          เท่านั้น ที่เด็กทั้งสองคนได้ลูกกวาดครบทั้ง 4 ชนิด

          เพราะฉะนั้น ตัวเลือก 1 ถูกต้อง
**********************************
18. ข้อสอบปรนัยวิชาหนึ่งมี 6 ข้อ ข้อที่ 1 และข้อที่ 2 มีคะแนนเต็มข้อละ 3 คะแนน ข้ออื่น ๆ มีคะแนนเต็มข้อละ 1 คะแนน หากนักเรียนตอบข้อใดถูกต้อง จะได้คะแนนเต็มของข้อนั้น หากตอบผิดจะได้คะแนน 0 จำนวนวิธีที่นักเรียนจะทำคะแนนวิชานี้ได้ 60 เปอร์เซนต์พอดี เท่ากับในข้อใดต่อไปนี้
          1. 6
          2. 7
          3. 8
          4. 9
เฉลยข้อ 4 แนวคิด
          ข้อสอบ 6 ข้อ มีคะแนน 3, 3, 1, 1, 1, 1 รวม 10 คะแนน จำนวนวิธีในการตอบข้อสอบเพื่อให้ได้คะแนน 60% ก็คือได้คะแนนรวม 6 คะแนน = จำนวนวิธีในการตอบถูกเพียงข้อ 1 และ 2 + จำนวนวิธีในการตอบถูก ข้อ 1 หรือ 2 เพียงข้อเดียวและตอบถูก ข้อ 3 - 6 เพียง 3 ข้อเท่านั้น

**********************************
19. อาคารหลังหนึ่งมีลิฟท์ 2 เครื่อง ความน่าจะเป็นที่ลิฟท์เครื่องแรกและเครื่องที่สองรออยู่ที่ชั้นล่างเป็น 0.20 และ 0.30 ตามลำดับ และความน่าจะเป็นที่จะมีลิฟท์ทั้งสองเครื่องรออยู่พร้อมกันที่ชั้นล่างเป็น 0.06 ความน่าจะเป็นที่จะมีลิฟท์รออยู่ชั้นล่างเพียงเครื่องเดียวเท่ากับเท่าใด
คำตอบ 0.38 แนวคิด
          ให้ p คือความน่าจะเป็นที่ลิฟท์เครื่องแรกจอดรออยู่ชั้นล่าง
               q คือความน่าจะเป็นที่ลิฟท์เครื่องสองจอดรออยู่ชั้นล่าง

**********************************